Traslacion

Rotacion

SIMETRÍA AXIAL

Decimos que una figura plana tiene simetría axial cuando podemos trazar una recta (llamada eje de simetría) que divida en dos partes la figura, de manera que si plegamos el plano por ese eje las dos partes coinciden. Observa que una parte "se refleja" en el eje para formar la otra, como si el eje actuase de espejo.

En esta actividad podrás dibujar figuras que tengan simetría axial, a partir del eje de simetría que la aplicación te mostrará. Solo tienes que mover el punto P (no lo confundas con P').

AL DOBLAR UNA MARIPOSA ALA MITAD VEREMOS UN EJEMPLO CLARO

•  HOMOTECIA

• 1. Cuando cambias una figura de tamaño se hace más grande o más pequeño.      ... pero es similar:    los ángulos no cambian los tamaños relativos son los mismos (por ejemplo la cabeza y el cuerpo mantienen la proporción)     Nota: aquí llamamos a esto homotecia , pero otros lo llaman dilatación, contracción, compresión, alargamiento o reescala . La misma idea con otros nombres.
• 2. : HOMOTECIA: Una homotecia es una trasformación geométrica que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. Es una amplificación. Su definición rigurosa es vectorial
• 3. Para cambiar el tamaño, haz lo siguiente con cada esquina: dibuja una línea del punto central a la esquina aumenta (o disminuye) la longitud de esa línea marca el nuevo punto ¡Ya sólo tienes que unir esos nuevos puntos!
• 4. La homotecia es una trasformación lineal y por consiguiente conserva: el alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro : la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C'] el paralelismo: dos rectas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (B E ) // (C D ) porque (BE) //(CD). Además la homotecia conserva: el cociente de longitudes: A'C'/B'E' = AC/BE en la figura los ángulos orientados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura.                                                                               

 

TRAZADO DE CURVAS TECNICAS

Trazado de óvalos

Construir un óvalo conociendo el eje mayor.

Primer método.

Dado el eje mayor AB, lo dividimos en tres partes iguales. Por sus divisiones trazamos dos circunferencias O1 y O2 de radio la tercera parte del eje AB, estas se cortan en los puntos O3 y O4.
O1, O2, O3 y O4 son los centros de los cuatro arcos que compondrán el óvalo. Los arcos de centro O1 y O2 tienen como radio la tercera parte del eje mayor y son tangentes a las trazadas con centro en O3 y O4, los puntos de enlace T2, T4, T1 y T3 de las circunferencias O1 Y O2 con O3 y O4 respectivamente están donde los segmentos unión de centros correspondientes corten a las circunferencias de centros O1 y O2. El radio de los arcos de centro O3 y O4 será por tanto la distancia existente entre ellos y sus correspondientes puntos de enlace (O3-T2).

Segundo método.

Dividimos en cuatro partes iguales el eje mayor dado AB obteniendo los centros O1 y O2 de dos de los arcos en sus divisiones intermedias. Con centro en los extremos Ay B dados y radios AO1 y BO2 trazamos dos arcos que se cortan en O3 y O4, centros de los dos arcos restantes. Los puntos de enlace se determinan uniendo los centros O1 y O2 con O3 y O4 y con estos quedan a su vez determinados los radios de los arcos de centros O3 y O4 (O3-T2).

Tercer método.

Dado AB, eje mayor, lo dividimos en cuatro partes obteniendo O1 y O2 en las divisiones más cercanas a A y B. Con centro en el punto medio del eje mayor, trazamos una circunferencia cuyo radio mida la cuarta parte de dicho eje que corta a la mediatriz de AB en O3 Y O4 centro de los arcos simétricos respecto de AB. Para determinar los puntos de enlace y radios de estos dos últimos arcos, unimos los centros correspondientes como en ejercicios precedentes.

Construir un óvalo conociendo el eje mayor. 3 métodos.

Construir un óvalo conociendo su eje menor.

Los extremos del eje menor dado serán centros de dos de los cuatro arcos de este óvalo (O3 y O4) y cuyo radio será igual al propio eje menor. Trazamos una circunferencia auxiliar de diámetro igual al eje menor dado que cortará a su mediatriz en los puntos O2 y O1, centros de los dos arcos restantes. Los puntos de enlace se calculan uniendo centros y con ellos los radios de los arcos de centros O1 y O2, arcos que cortarán a la mediatriz del eje menor en A y B, extremos del eje mayor.

Construir un óvalo conociendo sus dos ejes.

Dado el eje mayor AB y el menor CD, trasladamos sobre la prolongación del menor, la magnitud del semieje mayor, obteniendo el punto E. Con centro en el extremo C, trazamos un arco de radio CE que corta al segmento CA en X. La mediatriz de XA determina en su intersección con el eje mayor el punto O1, centro de uno de los arcos, su arco simétrico tendrá su centro O2 también sobre el eje mayor, a igual distancia de O y en sentido opuesto. Los radios de estos arcos los determinan las distancias a los extremos correspondientes del eje mayor AB.
La mediatriz de XA determina asimismo en su intersección sobre el eje menor o su prolongación el centro O4 y por simetría con respecto al eje mayor queda determinado O3. Los puntos de tangencia y los radios de los arcos de centros O3 y O4 se determinan como en ejercicios anteriores.

Construir un óvalo inscrito en un rombo dado.

Este trazado se emplea asiduamente para sustituir, en perspectiva isométrica, la elipse por el óvalo.
Dado el rombo ABCD, trazamos desde los extremos de la diagonal menor, rectas normales a los lados del opuestos rombo obteniendo T1, T2, T3 y T4, puntos de enlace de los arcos de centros O1 y O2, situados en las intersecciones de las normales trazadas. C y D son los centros de los arcos restantes. Los radios de los arcos quedan determinados por las distancias de los centros a los puntos de enlace correspondientes (O1-T1).

Construir un óvalo conociendo su eje menor, conociendo sus dos ejes e inscrito en un rombo dado.

Ovoide.

Es una curva cerrada y plana compuesta por dos arcos de circunferencia de igual radio, y otros dos de distinto radio, uno de ellos una semicircunferencia. Tiene un eje de simetría que contiene a los centros de los arcos desiguales. Se denomina diámetro en el ovoide al diámetro de la semicircunferencia normal al eje.

Trazado de ovoides.

Construir un ovoide conociendo su eje.

Dado el eje AB lo dividimos en seis partes iguales siendo las partes 2ª y 5ª los centros O1 y O2 de la semicircunferencia y arco desigual. Con centro en la 2ª división y radio 2B, trazamos un arco que corta en O3 y O4, centros de los arcos iguales, a la prolongación del diámetro. El radio de la semicircunferencia es O1-A y sus extremos T1 y T2 puntos de enlace. El radio del arco desigual de centro O2 es O2-B. Para determinar los puntos de enlace T4 y T3 unimos O4 y O3 con O2 cortando en su prolongación al arco trazado con centro en O2. Los radios de los arcos iguales son O4-T4 o O3-T3.

Construir un ovoide conociendo su diámetro.

Dado el diámetro AB, su mediatriz determinará la ubicación del eje. Trazamos la semicircunferencia con centro O1, punto medio de AB y radio O1A y trasladamos la magnitud de este radio sobre el eje a partir de O1 quedando así determinado O4, centro del otro arco desigual. Los propios extremos A y B del diámetro dado son los centros O3 y O4 de los arcos iguales de radio AB. A y B son asimismo los puntos de enlace T3 y T2 de la semicircunferencia con sus arcos adyacentes, determinaremos los puntos de enlace T1 y T4 y el radio del arco desigual de centro O4 mediante los segmentos que unen los centros O3-O4 y O2-O4 y su intersección con los arcos iguales.

Construir un ovoide conociendo su diámetro, su eje y el radio del arco desigual menor.

Siendo AB el diámetro, CD el eje y r el radio dados, trazamos una circunferencia de diámetro AB y trazamos su diámetro ortogonal y obteniendo C desde donde transportamos la magnitud del eje dada DC obteniendo D. Llevamos a partir de A y B y sobre el diámetro, la magnitud r del radio dado y desde D sobre el eje obteniendo O4 centro del arco desigual sobre dicho eje. Unimos los puntos obtenidos sobre el diámetro con O4 y trazamos las mediatrices de estos segmentos que cortan al diámetro o su prolongación en los centros O3 y O2 de los arcos iguales, de radios O3-B. Determinamos los puntos de enlace T1 y T4 uniendo O3 y O2 con O4 hasta cortar a los arcos iguales o al arco de centro O4 y radio r.

Construir un ovoide conociendo su eje, conociendo su diámetro y conociendo su diámetro, su eje y el radio del arco desigual menor.

Espirales.

Es la espiral una curva abierta y plana generada por el movimiento de un punto que se aleja de otro u otros fijos denominados centros. Puede estar constituida por arcos de circunferencia enlazados entre sí y de radios gradualmente mayores. Se denomina espira al fragmento de curva que describe el punto en una vuelta completa.
Las espiras contiguas distan entre sí una magnitud constante denominada paso.

Trazado de espirales.

Construcción de la espiral de dos centros conocido el paso.

Dados los dos centros A y B, se unen entre sí y se prolonga el segmento que determinan, esta recta será inicio y fin de los sucesivos arcos que determinan la espiral. La magnitud del paso es igual al doble de la magnitud del segmento AB.
Para trazarla, hacemos centro en A o B y describimos una semicircunferencia de radio AB que corta en C a la recta, cambiamos de centro (a B en la ilustración) y trazamos otra semicircunferencia con el mismo sentido y a continuación de la anterior, a partir de C, de radio BC y por tanto igual a P obteniendo en su intersección sobre la recta el punto D desde donde trazamos otra con centro en A y radio 3P/2 y así sucesivamente. Observaremos que el radio de las semicircunferencias aumenta P/2 en cada ocasión.

Construcción de la espiral de tres centros conocido el paso.

Construimos el triángulo equilátero ABC siendo la magnitud de su lado la tercera parte del paso dado P. A, B y C serán los centros de los sucesivos arcos. Prolongamos en un mismo sentido los tres lados del triángulo y hacemos centro en uno de los vértices, trazando un arco de radio P/3 (centro en A y radio AC), que corta a una de las prolongaciones en D (la primera prolongación interceptada BA). Con centro en el vértice adyacente en el mismo sentido que se trace el arco (B), se traza otro enlazado con el anterior y por tanto a partir del punto D hasta cortar a la prolongación siguiente y así sucesivamente. Los radios aumentan P/3 cada vez que trazamos un arco.

Construcción de la espiral de cuatro centros conocido el paso.

Dibujamos un cuadrado ABCD de lado P/4 siendo P el paso dado y procedemos de igual forma que en el ejercicio anterior. El radio de los arcos trazados aumenta P/4 en cada ocasión.

Construcción de la espiral de dos, tres y cuatro centros conocido el paso.

HILOGRAMA

 HILOGRAMA

 es una técnica que se caracteriza por la utilización de hilos de colores, cuerdas o alambres tensados que se enrollan alrededor de un conjunto de clavos para formar figuras geométricas, abstractas u otros tipos de representaciones.

El arte del hilorama tiene su origen en las llamadas "cartas de Boole", inventadas por Mary Everest Boole al final del siglo XIX para hacer la teoría de las matemáticas más comprensibles para los niños. Mary utilizó estas cartas para ayudar con ellas a sus alumnos a aprender la geometría de los ángulos y espacios. Esto se popularizó como un arte decorativo durante la década de 1960 mediante kits de aprendizaje y libros.

AXONOMETRIA Y FIGURAS AXONOMETRICAS

• DEFINICION DE AXONOMETRIA

Es la parte de la geometría descriptiva que estudia el sistema de representación de figuras espaciales en un plano por medio de proyecciones obtenidas según tres ejes.

• CARACTERISTICA PRINCIPAL

la axonometría conserva el paralelismo entre rectas.

• CLASIFICACION

• Axonometría oblicua:  Perspectiva caballera. (horizontal y frontal) de conjuntos simples.

• Axonometría ortogonal:  Perspectivas isométricas en posición isométrica y no isométrica de los mismos temas.

EL SISTEMA AXONOMÉTRICO

El sistema axonométrico tiene como base de referencia un triedro trirrectángulo. Este triedro está formado por tres planos que son perpendiculares entre sí. Para representar un objeto en este sistema, se le ha de situar dentro del espacio que comprende el triedro, con una proyección cilíndrica sobre el plano de representación. De esta manera obtendremos una imagen en perspectiva del sólido, además de la representación de la tres aristas o ejes del triedro.
Como se aprecia en la figura, la imagen del cubo que se ha obtenido al aplicar el proceso descrito anteriormente es algo diferente de la imagen real de éste. No obstante, el poliedro está definido con la suficiente precisión como para comprender su configuración volumétrica y sus características formales.
                                                                              












FIGURA 1

• TIPOS DE PROYECCIONES CILINDRICAS EN EL SISTEMA AXONOMETRICO

El concepto de proyección determina el proceso por el que se obtiene una imagen sobre un plano de la figura bidimensional o tridimensional situada en el espacio. Por tanto, las proyecciones cilíndricas son aquéllas que consisten en trazar rayos proyectantes paralelos entre sí por los puntos más significativos de las figuras hasta cortar el plano del dibujo.
El sistema axonométrico está conformado por dos grandes bloques de perspectivas axonométricas:

• La primera de ellas, la axonometría ortogonal, se denomina así por estar basada en una proyección cilíndrica ortogonal.

• La segunda, la axonometría oblicua, se fundamenta en una proyección cilíndrica oblicua.

• FUNDAMENTOS DEL SISTEMA AXONOMÉTRICO ORTOGONAL

Las proyecciones en el plano del dibujo de las aristas del triedro (XYZ), también llamadas ejes, resultan al proyectar ortogonalmente todos los puntos que forman dichos ejes. Para ello, se hallan los puntos de intersección de éstos con el plano del cuadro del dibujo, con lo que se obtienen los puntos A, B, C. Uniéndolos con el punto O', proyección ortogonal de O, donde se cortan los ejes axonométricos, tendremos las proyecciones de los ejes, y si, además, unimos los puntos traza (A, B, C) entre sí, determinaremos el triángulo fundamental de las trazas.
Cuando se proyecta un objeto en este sistema, sus magnitudes varían; la razón existente entre el tamaño de un objeto real y su imagen proyectada se denomina coeficiente de reducción. Cuando no se utiliza este coeficiente, se dice que se está realizando un dibujo isométrico; sin embargo, cuando se aplica, se obtiene una perspectiva isométrica.

• TIPOS DE AXONOMETRIA OCTOGENAL

Al proyectar los ejes axonométricos (X, Y, Z) sobre el plano del dibujo, forman entre sí los ángulos , y , cuyos valores difieren dependiendo de la posición que estos ejes tengan respecto al plano. Las diferencias de ángulos generan las tres axonometrías siguientes:

• Perspectiva isométrica, los tres ángulos , y , son iguales. El coeficiente de reducción es el mismo para los tres ejes.

• Perspectiva dimétrica, dos ángulos son iguales y otro es distinto; por tanto, dos coeficientes de reducción son iguales y el otro desigual.

• Perspectiva trimétrica, todos los ángulos son diferentes, al igual que los coeficientes de reducción.

• TRAZADO DE SÓLIDOS

Para representar sólidos en perspectiva isométrica, conviene partir de los datos más significativos del cuerpo volumétrico. Esta información suele venir dada por el sistema diédrico mediante sus representaciones en planta, alzado y vista lateral.
Para pasar de la representación de un cuerpo en el sistema diédrico a perspectiva isométrica es importante que su posición no varíe en el cambio. Para ello, se debe representar la situación del cuerpo respecto a los planos de proyección. Por tanto, los ejes isométricos tendrán que coincidir con el sistema de coordenadas de la representación diédrica.
En la representación del sólido que ves a continuación puedes observar el proceso de elaboración que se ha seguido para llegar a su perspectiva isométrica partiendo de su representación en el sistema diédrico.
1.      Se hacen proyecciones en el sistema diédrico de un sólido.
2.      Se dibuja un sistema de ejes coordenados para situar los puntos 1, 2, 3, ....., y 9 de la base del sólido.
3.      Las coordenadas pasan a ser los ejes isométricos. Se transportan las medidas tomadas en las proyecciones diédricas al dibujo isométrico.
4.      Se llevan a las aristas laterales del sólido sus correspondientes altura y se completa su trazado.

• LA PERSPECTIVA CABALLERA

La perspectiva que se obtiene al proyectar un punto, figura plana o cuerpo volumétrico del espacio en el plano del cuadro o del dibujo, según una proyección cilíndrica oblicua, se denomina perspectiva caballera.
Esta perspectiva se fundamenta en el uso de un triedro trirrectángulo, cuyas trazas se toman como ejes (X, Y, Z) de referencia del sistema y de medida. Los ejes que expresan las magnitudes de altura Z y anchura X de una figura conservan sus dimensiones reales, por ser el plano ZOX paralelo o por estar formando parte del plano del cuadro. Sin embargo, el eje Y, perpendicular a dicho plano, expresa la profundidad, la cual se ve modificada aplicando un coeficiente de reducción para lograr que la representación gráfica del objeto transfiera la sensación de realidad de sus proporciones reales

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